Question

在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，則角A的大小為（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  3

• C、

  2

  3

  π
• D、

  5

  6

  π

Answer 1

考點：正弦定理的應用,三角函數中的恒等變換應用

專題：計算題,解三角形

分析：根據正弦定理，設

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a²=b²+c²+bc再與余弦定理聯立方程，可求出cosA的值，進而求出A的值．

解答： 解：由正弦定理：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
則a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∵2asinA=（2a+c）sinB+（2C+b）sinC，
方程兩邊同乘以2R，
∴2a²=（2b+c）b+（2c+b）c，
整理得a²=b²+c²+bc，
∵由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
故cosA=-

1

2

，A=

2π

3

，
故選：C．

點評：本題主要考查了正弦定理與余弦函數的應用．主要用于解決三角形中邊、角問題，故應熟練掌握，考查了計算能力，屬于中檔題．