Question

20．在某校舉行的航天知識競賽中，參與競賽的文科生與理科生人數之比為1：3，且成績分布在[40，100]，分數在80以上（含80）的同學獲獎．按文理科用分層抽樣的方法抽取200人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖（見圖）．
（1）填寫下面的2×2列聯表，能否有超過95%的把握認為“獲獎與學生的文理科有關”？
（2）將上述調査所得的頻率視為概率，現從參賽學生中，任意抽取3名學生，記“獲獎”學生人數為X，求X的分布列及數學期望．

	文科生	理科生	合計
獲獎	5
不獲獎
合計			200

附表及公式：
K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）列出表格根據公式計算出K²，參考表格即可得出結論．
（2）由表中數據可知，抽到獲獎同學的概率為$\frac{1}{5}$，將頻率視為概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{1}{5}$）．即可得出．

解答 解：（1）

	文科生	理科生	合計
獲獎	5	35	40
不獲獎	45	115	160
合計	50	150	200

k=$\frac{200（5×115-35×45）2}{50×150×40×160}$=$\frac{25}{6}$≈4.167＞3.841，
所以有超過95%的把握認為“獲獎與學生的文理科有關”．
（2）由表中數據可知，抽到獲獎同學的概率為$\frac{1}{5}$，
將頻率視為概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{1}{5}$）．
P（X=k）=${∁}_{3}^{k}$×（$\frac{1}{5}$）^k（1-$\frac{1}{5}$）^3-k（k=0，1，2，3），

X	0	1	2	3
P	$\frac{64}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{1}{125}$

E（X）=3×$\frac{1}{5}$=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查了獨立性檢驗原理、二項分布列的概率計算公式與數學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．