Question

10．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，O為坐標原點，P是雙曲線在第一象限上的點且滿足|PF₁|=2|PF₂|，直線PF₂交雙曲線C于另一點N，又點M滿足$\overrightarrow{MO}$=$\overrightarrow{OP}$且∠MF₂N=120°，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{7}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由題意，|PF₁|=2|PF₂|，|PF₁|-|PF₂|=2a，可得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，由∠MF₂N=120°，可得∠F₁PF₂=120°，由余弦定理可得4c²=16a²+4a²-2•4a•2a•cos120°，即可求出雙曲線C的離心率．

解答 解：由題意，|PF₁|=2|PF₂|，
由雙曲線的定義可得，|PF₁|-|PF₂|=2a，
可得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
由四邊形PF₁MF₂為平行四邊形，
又∠MF₂N=120°，可得∠F₁PF₂=120°，
在三角形PF₁F₂中，由余弦定理可得
4c²=16a²+4a²-2•4a•2a•cos120°，
即有4c²=20a²+8a²，即c²=7a²，
可得c=$\sqrt{7}$a，
即e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{7}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線C的離心率，注意運用雙曲線的定義和三角形的余弦定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．