Question

7．已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₄=9，a₅+a₇=26，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）設(shè){b_n-a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程組，解方程組可得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式和求和公式；
（2）求得b_n=a_n+2^n-1，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₅+a₇=26，a₄=9，
可得2a₁+10d=26，a₁+3d=9，
解得a₁=3，d=2，
所以a_n=3+2（n-1）=2n+1； S_n=3n+$\frac{n（n-1）}{2}$×2=n²+2n．
（2）由（1）知a_n=2n+1，
{b_n-a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
可得b_n-a_n=2^n-1，
即b_n=a_n+2^n-1，
則前n項(xiàng)和T_n=S_n+（1+2+4+…+2^n-1）
=n²+2n+$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=n²+2n+2ⁿ-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．