Question

8．2016年8月21日第31屆夏季奧運會在巴西里約閉幕，中國以26金18銀26銅的成績名稱金牌榜第三、獎牌榜第二，某校體育愛好者協會在高三年級一班至六班進行了“本屆奧運會中國隊表現”的滿意度調查（結果只有“滿意”和“不滿意”兩種），從被調查的學生中隨機抽取了50人，具體的調查結果如表：

班號	一班	二班	三往	四班	五班	六班
頻數	5	9	11	9	7	9
滿意人數	4	7	8	5	6	6

（Ⅰ）在高三年級全體學生中隨機抽取一名學生，由以上統計數據估計該生持滿意態度的概率；
（Ⅱ）若從一班至二班的調查對象中隨機選取2人進行追蹤調查，記選中的4人中對“本屆奧運會中國隊表現”不滿意的人數為ξ，求隨機變量ξ的分布列及其數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在被抽取的50人中，持滿意態度的學生共36人，從而求出持滿意態度的頻率，由此能估計高三年級全體學生持滿意態度的概率．
（Ⅱ）ξ的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和期望值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）在被抽取的50人中，持滿意態度的學生共36人，
持滿意態度的頻率為$\frac{36}{50}=\frac{18}{25}$，
據此估計高三年級全體學生持滿意態度的概率為$\frac{18}{25}$；…（3分）
（Ⅱ）ξ的所有可能取值為0，1，2，3，…（5分）
$P（{ξ=0}）=\frac{C_4^2}{C_5^2}•\frac{C_7^2}{C_9^2}=\frac{6}{10}×\frac{21}{36}=\frac{7}{20}$，…（6分）
$P（{ξ=1}）=\frac{C_4^1}{C_5^2}•\frac{C_7^2}{C_9^2}+\frac{C_4^2}{C_5^2}•\frac{C_7^1C_2^1}{C_9^2}=\frac{4}{10}×\frac{21}{36}+\frac{6}{10}×\frac{14}{36}=\frac{7}{15}$．…（7分）
$P（{ξ=2}）=\frac{C_4^1}{C_5^2}•\frac{C_7^1C_2^1}{C_9^2}+\frac{C_4^2}{C_5^2}•\frac{C_3^2}{C_9^2}=\frac{4}{10}×\frac{14}{36}+\frac{6}{10}×\frac{1}{36}=\frac{31}{180}$．…（8分）
$P（{ξ=3}）=\frac{C_4^1}{C_5^2}•\frac{C_2^2}{C_9^2}=\frac{4}{10}×\frac{1}{36}=\frac{1}{90}$，…（9分）
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{7}{20}$	$\frac{7}{15}$	$\frac{31}{180}$	$\frac{1}{90}$

…（10分）
所以ξ的期望值為：$Eξ=0×\frac{7}{20}+1×\frac{7}{15}+2×\frac{31}{180}+3×\frac{1}{90}=\frac{38}{45}$． …（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．