Question

19．設f（x）=x³+log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），則對任意實數a，b“a+b≥0”是“f（a）+f（b）≥0”的充分必要條件．
（“充分”，“必要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”）

Answer 1

分析 求出f（x）是奇函數．所以f（x）在R上是增函數，a+b≥0可得af（a）+f（b）≥0成立；若f（a）+f（b）≥0則f（a）≥-f（b）=f（-b）由函數是增函數知a+b≥0成立a+b＞=0是f（a）+f（b）＞=0的充要條件．

解答 解：f（x）=x³+log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），f（x）的定義域為R，
∵f（-x）=-x³+log₂（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=-x³+log₂ （$\frac{1}{x+\sqrt{{x}^{2}+1}}$）=-x³-log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=-f（x），
∴f（x）是奇函數，
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數，
∴f（x）在R上是增函數，
a+b≥0可得a≥-b，
∴f（a）≥f（-b）=-f（b），
∴f（a）+f（b）≥0成立，
若f（a）+f（b）≥0則f（a）≥-f（b）=f（-b）由函數是增函數知，
a≥-b，
∴a+b≥0成立，
∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要條件，
故答案為：充分必要．

點評 本題考查充要條件的判斷，解題時要注意單調性的合理運用．