Question

【題目】已知函數f(x)＝(x﹣1)|x﹣a|﹣x﹣2a(x∈R).

(1)若a＝﹣1,求方程f(x)＝1的解集;

(2)若 ,試判斷函數y＝f(x)在R上的零點個數.

Answer 1

【答案】(1).(2)答案見解析

【解析】

（1）因式分解即可求解方程；

（2）對a分類討論求解零點個數.

(1)當a＝﹣1時，由f(x)＝1得:(x﹣1)|x+1|﹣(x﹣1)＝0，即(x﹣1)(|x+1|﹣1)＝0，

解得x＝1或|x+1|＝1，則有x＝1或x＝0或x＝﹣2，

即解集為{0，1，﹣2};

(2)f(x)，

當a＝0時，f(x)＝(x﹣1)|x|﹣x，由f(x)＝0，可得x＝0，2，兩個零點；

當0＜a＜2時，當x＜a時，f(x)＝﹣(x)2a(a﹣12)，

a＜a，可得f(x)在(﹣∞，a)遞增，(a，a)遞減，即f(x)在x＜a有最大值a(a﹣12)＜0，

當x≥a時，f(x)＝(x)2(a+4)2+3，a，

可得f(x)在(a，a+1)遞減，(a+1，+∞)遞增，

即f(x)在x≥a有最小值(a+4)2+3＜0，

且在x→﹣∞時，f(x)→﹣∞;在x→+∞時，f(x)→+∞，則f(x)在0＜a＜2時，只有一個零點;

當a＜0時，當x＜a時，f(x)＝﹣(x)2a(a﹣12)，

a＞a，可得f(x)在(﹣∞，a)遞增，即f(x)在x＜a時，f(x)＜f(a)＝﹣3a＞0，

當x≥a時，f(x)＝(x)2(a+4)2+3，a，

可得f(x)在(a，a+1)遞減，(a+1，+∞)遞增，

即f(x)在x≥a有最小值(a+4)2+3＜0，

且在x→﹣∞時，f(x)→﹣∞;在x→+∞時，f(x)→+∞，則f(x)在a＜0時，有三個零點；

綜上可得y＝f(x)在R上的零點個數:

當，一個零點，當，兩個零點，當，三個零點