【題目】在不超過2000的自然數中，任意選取601個數.則這601個數中一定存在兩數，其差為3或4或7.
【答案】見解析
【解析】
把不超過2000的自然數分成200組，連續十個自然數為一組.每組為
，其中
，1，2，…，199.
因為
，所以由抽屜原則知，至少有一組數里至少要選取4個數.不妨設是1，2，…，10這一組里應選取4個數.
把1，2，…，10分成4個小組：
，
，
，
.
（1）當
、
、
這三個小組中，有一組至少選取2個數時，命題顯然成立.
（2）與上述相反，當、、這三個小組中每一組至多選取一個數時，由上面分析知，每一小組只能選取一個數，那么，
中只能選取7.
（i）若中選取3或10，則有
或
.命題成立.
（ii）若中選取6，
a）若在中選取2或9時，有
或
.成立.
b）若在中選取5時，那么，在中選取1或4或8時，有
或
或
.
命題成立.
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【題目】設函數
是定義域為R的奇函數.
（1）求實數k的值；
（2）若
，試判斷函數
的單調性，并求不等式
的解集；
（3）若
，設
，
在
上的最小值為-1，求實數m的值.
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【題目】已知直線
，閱讀如圖所示的程序框圖，若輸入的
的值為
，輸出的
的值恰為直線
在軸上的截距，且
.
（1）求直線
與的交點坐標；
（2）若直線
過直線與的交點，且在
軸上的截距是在軸上的截距的2倍，求的方程.
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【題目】如圖，在四棱椎
中， 
是棱
上一點，且
，底面
是邊長為2的正方形， 
為正三角形，且平面
平面
，平面
與棱
交于點
.
(1)求證：平面
平面
；
(2)求二面角
的余弦值.
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【題目】設關于x的方程x2﹣ax﹣1＝0和3x2﹣6x+3﹣2a＝0的實根分別為x1,x2和x3,x4.若x1＜x3＜x2＜x4，則實數a的取值范圍為_____.
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【題目】已知距離為
的
、
兩點在直線
的同側，且、到直線的距離分別為
、
.問能否作出經過、兩點且與直線相切的圓？若能，請寫出作法，畫圖并求出圓的半徑；若不能，說明理由.
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【題目】已知函數f(x)＝(x﹣1)|x﹣a|﹣x﹣2a(x∈R).
(1)若a＝﹣1,求方程f(x)＝1的解集;
(2)若
,試判斷函數y＝f(x)在R上的零點個數.
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【題目】如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1，中，點M是棱BC的中點.
（2）求證：A1C∥平面AB1M；
（2）如果AB＝AC，求證AM⊥平面BCC1B1.
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