Question

11．己知函數f（x）=$\frac{{a{x^2}}}{e^x}（{a≠0}）$（其中e為自然對數的底數），h（x）=x-$\frac{1}{x}$．
（I）求函數f（x）的單調區間；
（II）設g（x）=$\frac{1}{2}[{f（x）+h（x）}]-\frac{1}{2}\left|{f（x）}\right.-h（x）\left|{-c{x^2}}$，．已知直線y=$\frac{x}{e}$是曲線y=f（x）的切線，且函數g（x）在（0，+∞）上是增函數．
（i）求實數a的值；
（ii）求實數c的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；
（Ⅱ）（i）根據切線方程求出a的值即可；（ii）問題轉化為$2c≤\frac{2-x}{e^x}$在（x₀，+∞）上恒成立，根據函數的單調性求出c的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\frac{{a{x^2}}}{e^x}（a≠0）$，
∴$f'（x）=a（2x{e^{-x}}-{x^2}{e^{-x}}）=ax（2-x）{e^{-x}}=\frac{ax（2-x）}{e^x}$，
①當a＞0時，
在x∈（-∞，0）∪（2，+∞）時，f'（x）＜0，在x∈（0，2）時，f'（x）＞0，
故f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上是減函數，在（0，2）上是增函數；
②當a＜0時，
在x∈（-∞，0）∪（2，+∞）時，f'（x）＞0，在x∈（0，2）時，f'（x）＜0，
故f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上是增函數，在（0，2）上是減函數；…（4分）
（Ⅱ）（i）對f（x）求導，得$f'（x）=\frac{ax（2-x）}{e^x}$，
設直線$y=\frac{x}{e}$與曲線y=f（x）切于點P（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}\frac{x_0}{e}=\frac{ax_0^2}{{{e^{x_0}}}}\\ \frac{1}{e}=\frac{{a{x_0}（{2-{x_0}}）}}{{{e^{x_0}}}}\end{array}\right.$解得a=x₀=1，∴a=1；             …（7分）
（ii）記函數ϕ（x）=f（x）-h（x）=$\frac{x^2}{e^x}-（x-\frac{1}{x}）$，x＞0，
求導，得$ϕ'（x）=\frac{x（2-x）}{e^x}-1-\frac{1}{x^2}$，
當x≥2時，ϕ'（x）＜0恒成立，
當0＜x＜2時，$x（2-x）≤{[\frac{x+（2-x）}{2}]^2}=1$，
∴$ϕ'（x）=\frac{x（2-x）}{e^x}-1-\frac{1}{x^2}$$≤\frac{1}{e^x}-1-\frac{1}{x^2}＜1-1-\frac{1}{x^2}＜0$，
∴ϕ'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，故ϕ（x）在（0，+∞）上單調遞減．
又$ϕ（1）=\frac{1}{e}＞0$，$ϕ（2）=\frac{4}{e^2}-\frac{3}{2}＜0$，
曲線ϕ（x）=f（x）-h（x）在[1，2]上連續不間斷，
∴由函數的零點存在性定理及其單調性知，?唯一的x₀∈（1，2），使ϕ（x₀）=0．
∴當x∈（0，x₀）時，ϕ（x）＞0，當x∈（x₀，+∞）時，ϕ（x）＜0．
∴當x＞0時，$g（x）=\frac{1}{2}[f（x）+h（x）]-\frac{1}{2}|f（x）-h（x）|-c{x^2}$=$\left\{\begin{array}{l}x-\frac{1}{x}-c{x^2}，0＜x≤{x_0}\\ \frac{x^2}{e^x}-c{x^2}，x＞{x_0}\end{array}\right.$
求導，得$g'（x）=\left\{\begin{array}{l}1+\frac{1}{x^2}-2cx，\;0＜x≤{x_0}\\ \frac{x（2-x）}{e^x}-2cx，\;x＞{x_0}.\end{array}\right.$
由函數g（x）在（0，+∞）上是增函數，且曲線y=g（x）在（0，+∞）上連續不斷知：
g'（x）≥0在（0，x₀]，（x₀，+∞）上恒成立．
①當x∈（x₀，+∞）時，$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$-2cx≥0在（x₀，+∞）上恒成立，
即$2c≤\frac{2-x}{e^x}$在（x₀，+∞）上恒成立，
記$u（x）=\frac{2-x}{e^x}$，x＞x₀，則$u'（x）=\frac{x-3}{e^x}$，x＞x₀，
當 x變化時，u'（x），u（x）變化情況列表如下：

x	（x0，3）	3	（3，+∞）
u'（x）	-	0	+
u（x）	↓	極小值	↑

∴u（x）_min=u（x）_極小值=u（3）=$-\frac{1}{e^3}$，
故“$2c≤\frac{2-x}{e^x}$在（x₀，+∞）上恒成立”，只需2c≤u（x）_min=$-\frac{1}{e^3}$，即$c≤-\frac{1}{{2{e^3}}}$．
②當x∈（0，x₀]時，g'（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-2cx，
當c≤0時，g'（x）＞0在x∈（0，x₀]上恒成立，
綜合①②知，當$c≤-\frac{1}{{2{e^3}}}$時，函數g（x）在（0，+∞）上是增函數．
故實數c的取值范圍是$（-∞，\;-\frac{1}{{2{e^3}}}]$．               …（14分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．