Question

18．“a≤0”是“函數f（x）=|x（ax+1）|在區間（-∞，0）內單調遞減”的（　　）

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充分必要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 根據二次函數的單調性，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．

解答 解：如圖示：
，
當a＜0時，f（x）=|ax²+x|═|a（x+$\frac{1}{2a}$）²-$\frac{1}{4a}$|，
則函數f（x）的對稱軸為x=-$\frac{1}{2a}$＞0，
又f（x）=|ax²+x|=0得兩個根分別為x=0或x=-$\frac{1}{a}$＞0，
∴函數f（x）=|ax²+x|在區間（-∞，0）內單調遞減．函數在[-$\frac{1}{2a}$，-$\frac{1}{a}$]上單調遞減，
a=0時，f（x）=|x|，在（-∞，0）遞減，
當a＞0時，f（x）=|ax²+x|═|a（x+$\frac{1}{2a}$）²-$\frac{1}{4a}$|，
則函數f（x）的對稱軸為x=-$\frac{1}{2a}$＜0，
又f（x）=|ax²+x|=0得兩個根分別為x=0或x=-$\frac{1}{a}$＜0，
∴函數f（x）=|ax²+x|在區間（-∞，-$\frac{1}{a}$）內單調遞減，在[-$\frac{1}{a}$，-$\frac{1}{2a}$]上單調遞增，在（-$\frac{1}{2a}$，0）遞減，不符合．
∴“a≤0”是“函數f（x）=|（ax+1）x|在區間（-∞，0）內單調遞減”的充分必要條件．
故選：C．

點評 本題主要考查函數單調性的判斷和應用，利用充分條件和必要條件的定義是解決本題的關鍵．