Question

7．已知f（x）是定義在（0，+∞）上的非負可導函數，且滿足xf'（x）+f（x）≤0，對任意的0＜a＜b，則必有（　　）

• A． af（b）≤bf（a）
• B． bf（a）≤af（b）
• C． af（a）≤f（b）
• D． bf（b）≤f（a）

Answer 1

分析 先構造函數，再由導數與原函數的單調性的關系解決．

解答 解：xf′（x）+f（x）≤0⇒[xf（x）]′≤0⇒函數F（x）=xf（x）在（0，+∞）上為常函數或遞減，
又0＜a＜b且f（x）非負，于是有：af（a）≥bf（b）≥0①$\frac{1}{{a}^{2}}$＞$\frac{1}{{b}^{2}}$＞0②，
①②兩式相乘得：$\frac{f（a）}{a}$≥$\frac{f（b）}{b}$≥0⇒af（b）≤bf（a），
故選：A．

點評 本題的難點在對不等式②的設計，需要經驗更需要靈感．