Question

2．定義在R上的偶函數f（x）滿足f（2-x）=f（x），且在[-3，-2]上是減函數，α，β是銳角三角形的兩個內角，下列不等式正確的是（　　）

• A． f（sinα）＞f（cosβ）
• B． f（sinα）＜f（cosβ）
• C． f（cosα）＜f（cosβ）
• D． f（sinα）＞f（sinβ）

Answer 1

分析 由定義在R上的偶函數f（x）滿足f（2-x）=f（x）得函數的周期為2，然后利用函數的周期和奇偶性進行轉化，確定函數f（x）在區間[0，1]上的單調性，即可判斷得到答案．

解答 解：∵定義在R上的偶函數f（x）滿足f（2-x）=f（x），∴函數f（x）為周期函數，周期T=2，
∵f（x）在[-3，-2]上為減函數，
∴f（x）在[-1，0]上為減函數，
∵f（x）為偶函數，根據偶函數在對稱區間上單調性相反，
∴f（x）在[0，1]上為單調增函數．
∵在銳角三角形中，則π-α-β＜$\frac{π}{2}$，
∴α+β＞$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{2}$＞α＞$\frac{π}{2}$-β＞0，
∴sinα＞sin（$\frac{π}{2}$-β）=cosβ，
∵f（x）在[0，1]上為單調增函數．
∴f（sinα）＞f（cosβ）．
故選A．

點評 本題主要考查了函數的奇偶性和周期性的應用，三角函數的圖象和性質，綜合考查了函數的奇偶性、周期性和單調性的應用，綜合性較強，涉及的知識點較多．屬于中檔題．