Question

已知函數，.

（1）若函數在其定義域上為增函數，求的取值范圍；

（2）當時，函數在區間上存在極值，求的最大值.

（參考數值:自然對數的底數≈）.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）解法1是將函數在其定義域上為增函數等價轉化為不等式在區間上恒成立，利用參數分離法得到不等式在上恒成立，并利用基本不等式求出的最小值，從而求出的取值范圍；解法2是求得導數，將問題等價轉化為不等式在上恒成立，結合二次函數零點分布的知識求出的取值范圍；（2）先將代入函數的解析式并求出的導數，構造新函數，利用導數研究函數的單調性，結合零點存在定理找出函數的極值點所存在的區間，結合條件確定的最大值.

試題解析：（1）解法1：函數的定義域為，

，.

函數在上單調遞增，

，即對都成立.

對都成立.

當時，，當且僅當,即時，取等號.

，即，的取值范圍為.

解法2：函數的定義域為，

，.

方程的判別式.

①當，即時，，

此時，對都成立,

故函數在定義域上是增函數.

②當，即或時，要使函數在定義域上為增函數，

只需對都成立.

設,則，得.

故.

綜合①②得的取值范圍為；

（2）當時，.

.

函數在上存在極值，

∴方程在上有解,

即方程在上有解.

令，由于，則，

函數在上單調遞減.

，

，

函數的零點.

方程在上有解，，.

，的最大值為.

考點：1.函數的單調性與導數；2.參數分離法；3.二次函數的零點分布；4.基本不等式；5.零點存在定理