Question

16．已知F₁，F₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，以原點O為圓心，OF₁為半徑的圓與橢圓在y軸左側交于A，B兩點，若△F₂AB是等邊三角形，則橢圓的離心率等于（　　）

• A． $\sqrt{3}$-1或$\sqrt{3}$+1
• B． $\sqrt{3}$-1
• C． $\sqrt{3}$+1
• D． 2-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 如圖所示，由△F₂AB是等邊三角形，可得∠AF₂F₁=30^°．在RT△AF₁F₂中，|AF₁|=c，|AF₂|=$\sqrt{3}$c．再利用橢圓的定義即可得出．

解答 解：如圖所示，
由△F₂AB是等邊三角形，∴∠AF₂F₁=30^°．
在RT△AF₁F₂中，|AF₁|=c，|AF₂|=$\sqrt{3}$c．
∴c+$\sqrt{3}$c=2a．可得：$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$-1．
故選：B．

點評 本題考查了橢圓的定義與對稱性、等邊三角形的性質、直角三角形的邊角關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．