Question

7．設橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為$\sqrt{2}$
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點P（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點A，B，當△OAB面積最大值時，求線段AB的長．

Answer 1

分析 （1）根據題意列出關于a，b，c的方程組，求得橢圓方程；（2）由題分析得直線l的斜率存在，可設為y=kx+2，與橢圓方程聯立，根據韋達定理，求△OAB的面積最大時的k值，再求線段AB的長．

解答 解：（1）∵離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$…①
∵過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為$\sqrt{2}$
∴通徑長$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\sqrt{2}$…②
由①②及a²=b²+c²，解的a=$\sqrt{2}$，b=c=1
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$
（2）由題可知，直線l的斜率存在，故設為y=kx+2，
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（1+2k²）x²+8kx+6=0
△=16k²-24＞0得${k}^{2}＞\frac{3}{2}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8k}{1+2{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{6}{1+2{k}^{2}}}\end{array}\right.$
∵P在橢圓外，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}×|OP|×|{x}_{1}-{x}_{2}|$=|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{16{k}^{2}-24}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{4{k}^{2}-6}}{1+2{k}^{2}}$
令$t=\sqrt{4{k}^{2}-6}$（t＞0）得4k²=t²+6
∴S_△OAB=$\frac{4t}{8+{t}^{2}}$=$\frac{4}{\frac{8}{t}+t}$$≤\frac{4}{2\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
當且僅當$\frac{8}{t}=t$，即${k}^{2}=\frac{7}{2}$（符合）時，面積取得最大值．
此時|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\frac{2\sqrt{（1+{k}^{2}）（4{k}^{2}-6）}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{3}{2}$．

點評 考查橢圓的基本性質，直線與橢圓的位置關系，橢圓中面積、弦長的求解方法，基本不等式求最大值．考查了換元法，方程與函數思想．屬于圓錐曲線中的中檔題．