Question

已知函數f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx（x∈R）．
（1）當x∈[0，

π

2

]時，求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，

m

=（1，sinA），

n

=（2，sinB），若

m

∥

n

，求a，b的值．

Answer 1

考點：平面向量的綜合題,三角函數中的恒等變換應用

專題：計算題,三角函數的求值,解三角形,平面向量及應用

分析：首先化簡函數表達式f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx=1+cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）+1；
（1）由題意，2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，（k∈Z）；再與[0，

π

2

]求交集即可；
（2）由題意可得1sinB=2sinA；再由正弦定理可得b=2a．

解答： 解：f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx=1+cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）+1；
（1）由題意，2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，（k∈Z）；
故kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，（k∈Z）；
故當x∈[0，

π

2

]時，函數f（x）的單調遞增區間為[0，

π

6

]；
（2）∵

m

=（1，sinA），

n

=（2，sinB），

m

∥

n

，
∴1sinB=2sinA；
即b=2a．

點評：本題考查了三角函數的化簡與性質應用，同時考查了平面向量與正弦定理的應用，屬于中檔題．