Question

已知圓C₁：x²+（y-1）²=1，拋物線C₂的頂點在坐標原點，焦點F為圓C₁的圓心
（1）已知直線l的傾斜角為

π

4

，且與圓C₁相切，求直線l的方程；
（2）過點F的直線m與曲線C₁，C₂交于四個點，依次為A，B，C，D求|AC|•|BD|的取值范圍．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）求出圓心和半徑，設出直線y=x+b，運用直線和圓相切的條件：d=r，解方程，即可得到；
（2）設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），運用拋物線的定義，結合圓的定義，可得|AC|•|BD|=（y₁+2）（y₂+2），設直線AD：x=m（y-1），代入拋物線方程，運用韋達定理，化簡整理，即可得到m的關系式，即可得到范圍．

解答： 解：（1）圓C₁：x²+（y-1）²=1，圓心為（0，1），半徑為1，
拋物線的焦點F為（0，1），則拋物線方程為：x²=4y，準線方程為：x=-1．
設直線y=x+b，則與圓C₁相切，有d=r=1，即有

|0+b-1|

2

=1，
解得，b=1±

2

，
則直線l的方程為y=x+1+

2

或y=x+1-

2

；
（2）設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
拋物線x²=4y的焦點為（0，1），準線為y=-1．
|AF|=y₁+1，|DF|=y₂+1，
則|AB|=|AF|-1=y₁，|CD|=|DF|-1=y₂，
則有|AC|•|BD|=（y₁+2）（y₂+2）
=y₁y₂+2（y₁+y₂）+4
設直線AD：x=m（y-1），代入拋物線方程，
得，m²y²-（2m²+4）y+m²=0，
即有y₁+y₂=2+

4

m2

，y₁y₂=1，
則|AC|•|BD|=1+4+

8

m2

+4=9+

8

m2

＞9．
當直線AD平行于x軸，即y=1，
解得A（-2，1），B（-1，1），C（1，1），D（2，1），
則|AC|•|BD|=9．
綜上，則有|AC|•|BD|的取值范圍為[9，+∞）．

點評：本題考查直線與圓相切的條件，考查拋物線的定義和方程及性質，考查直線和拋物線方程聯立消去未知數，運用韋達定理解題，考查運算能力，屬于中檔題．