Question

已知數列{a_n}的前n（n∈N^*）項和為S_n，a₁=t，a₂=-1，點P_n（a_n，S_n），若點P_n（n=2，3，4，…）都在斜率為

1

3

的同一條直線上．
（1）當t為何值時，數列{a_n}是等比數列？
（2）在滿足（1）的條件下，設b_n=λa_n-n²，若數列{b_n}中，有b₁＞b₂，b₃＞b₄，…，b_2n-1＞b_2n，…成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

考點：等比關系的確定,數列的函數特性

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由題意和斜率公式得到

Sn+1-Sn

an+1-an

=

1

3

，再由前n項和定義化簡，根據等比數列的定義求出公比以及t的值；
（2）由等比數列的通項公式求出a_n，代入b_n=λa_n-n²化簡，代入b_2n-1＞b_2n分離出λ，根據式子的單調性和n的范圍求出式子的最大值，即可求出λ的范圍．

解答： 解：（1）∵點P_n，P_n+1（n=2，3，4，…）都在斜率為

1

3

的直線上，
∴

Sn+1-Sn

an+1-an

=

1

3

．
又∵S_n+1-S_n=a_n+1，
∴a_n+1=

1

3

（a_n+1-a_n），整理得

an+1

an

=-

1

2

（n≥2）．
又∵當n∈N^*時，數列{a_n}是等比數列，
∴只需要

a2

a1

=

-1

t

=-

1

2

，
∴t=2．
（2）由（1）得a_n=2•（-

1

2

）^n-1，
∵b_n=λa_n-n²，∴b_n=2λ（-

1

2

）^n-1-n²，
由b_2n-1＞b_2n得，2λ（-

1

2

）^2n-2-（2n-1）²＞b_2n=2λ（-

1

2

）^2n-1-（2n）²，
即2λ（-

1

2

）^2n-2[1-（-

1

2

）]＞（2n-1）²-（2n）²，
∴λ＞-

(4n-1)•4n

12

，
∵-

(4n-1)•4n

12

單調遞減，∴當n=1時，-

(4n-1)•4n

12

取最大值為-1，
∴λ＞-1．

點評：本題考查等比數列的定義、通項公式，斜率公式，以及數列的函數特性，屬于中檔題．