Question

4．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足：$|{\overrightarrow a}|=2，|{\overrightarrow b}|=4$，且$（\overrightarrow a-\overrightarrow b）•\overrightarrow b=-20$．
（1）求證：$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥\overrightarrow a$；
（2）求向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角．

Answer 1

分析 （1）先計算$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，再計算（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{a}$=0即可得出結論；
（2）代入夾角公式計算即可．

解答 證明：（1）∵$|{\overrightarrow b}|=4，（\overrightarrow a-\overrightarrow b）•\overrightarrow b=-20$，∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b-{\overrightarrow b^2}=\overrightarrow a•\overrightarrow b-16=-20$，
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-4$，
∵$|{\overrightarrow a}|=2$，
∴$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•\overrightarrow a={\overrightarrow a^2}+\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，
∴$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥\overrightarrow a$．
（2）設向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為θ，則$cosθ=\frac{\overrightarrow a，\overrightarrow b}{{|{\overrightarrow a}|•|{\overrightarrow b}|}}=-\frac{1}{2}$，
θ=120⁰．即向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為120°．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算，屬于中檔題．