Question

9．設三角形的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=2bsinA．其中角B為銳角．
（1）求B的大小；
（2）求cosA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由a=2bsinA根據正弦定理，得sinA=2sinBsinA，進而得出．
（2）利用和差公式、三角函數的單調性即可得出．

解答 解：（1）由a=2bsinA根據正弦定理，得sinA=2sinBsinA，故$sinB=\frac{1}{2}$．
因為角B為銳角，故$B=\frac{π}{6}$．…（6分）
（2）$cosA+sinC=cosA+sin（π-\frac{π}{6}-A）=cosA+sin（\frac{π}{6}+A）=cosA+\frac{1}{2}cosA+$$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinA$
=$\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{3}）$．…（10分）
∴$0＜A＜\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{3}＜A+\frac{π}{3}＜\frac{7π}{6}$，
故$-\frac{1}{2}＜sin（A+\frac{π}{3}）≤1$，$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{3}）≤\sqrt{3}$．
故cosA+sinC的取值范圍是$（{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\sqrt{3}}]$．…（12分）

點評 本題考查了正弦定理、和差公式、三角函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．