Question

函數f（x）=2sin²ωx+sin2ωx-1　（ω＞0）
①若對任意x∈R恒有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），求|x₁-x₂|的最小值；
②若f（x）在[0，]上是單調函數，求整數ω的值．

Answer 1

解：f（x）=2sin（2ωx-），
①由f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）知：x₁、x₂分別是函數y=f（x）的最小值、最大值點，
最小、最大值點間最近的距離為半個周期，得；
②視2ωx-為一個角θ，則θ∈[-，-]，
函數y=2sinθ在[-，-]上單調，則-≤，得0＜ω≤，
又ω為整數，∴ω=1．
分析：①先根據二倍角公式和兩角和與差的正弦公式化簡，再由f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）可確定x₁、x₂分別是函數y=f（x）的最小值、最大值點，根據最小、最大值點間最近的距離為半個周期，得|x₁-x₂|的最小值．
②將2ωx-看做一個角θ，進而可確定θ的取值范圍，再由y=2sinθ在[-，-]上單調得到-≤，即可得到ω的范圍，結合ω為整數可確定最后答案．
點評：本題主要考查二倍角公式的應用和三角函數的基本性質--單調性和周期性．考查考生對三角基礎知識的理解和認識，以及綜合運用能力．