Question

已知函數(shù)f(x)=a+2sin2(x+

π

4

)（a是常數(shù)，x∈R），y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求a；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（3）已知f(

α

2

)=

1

3

，求sin(α+

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)得f（0）=0，代入解析式求解即可；
（2）利用二倍角的余弦公式對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用周期公式求出函數(shù)的最小正周期；
（3）根據(jù)（2）化簡(jiǎn)的結(jié)果和題意，求出α的正弦值，再由平方關(guān)系求出它的余弦值，利用兩角和的正弦公式求出sin(α+

π

3

)的值．

解答：解：（1）由題意得，f(0)=a+2sin2(0+

π

4

)=0，
解得a=-1
（2）f(x)=2sin2(x+

π

4

)-1=-cos(2x+

π

2

)=sin2x，
∴T=

2π

2

=π
（3）由（2）得，f(

α

2

)=sinα=

1

3

，
根據(jù)平方關(guān)系得，cosα=±

2 2

3

，
∴sin(α+

π

3

)=sinαcos

π

3

+cosαsin

π

3

=

1±2 6

6

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的綜合題，關(guān)鍵是利用三角恒等變換的公式對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由條件進(jìn)行求角的三角函數(shù)值，考查了知識(shí)的綜合應(yīng)用能力．