Question

已知函數(shù)f(x)=

a(x-1)

x2

，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x²f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導函數(shù)，直接讓導函數(shù)大于0求出增區(qū)間，導函數(shù)小于0求出減區(qū)間即可；
（Ⅱ）直接利用切線的斜率即為切點處的導數(shù)值以及切點是直線與曲線的共同點聯(lián)立方程即可求實數(shù)a的值；
（Ⅲ）先求出g（x）的導函數(shù)，分情況討論出函數(shù)在在區(qū)間[1，e]上的單調(diào)性，進而求得其在區(qū)間[1，e]上的最小值．

解答：解：（Ⅰ）因為函數(shù)f（x）=

a(x-1)

x2

，
∴f′（x）=

[a(x-1)]′•x2-(x2)′a(x-1)

x4

=

a(2-x)

x3

，f′（x）＞0⇒0＜x＜2，
f′（x）＜0⇒x＜0，或x＞2，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞），
（Ⅱ）設(shè)切點為（x，y），
由切線斜率k=1=

a(2-x)

x3

，⇒x³=-ax+2a，①
由x-y-1=x-

a(x-1)

x2

-1=0⇒（x²-a）（x-1）=0⇒x=1，x=±

a

．
把x=1代入①得a=1，
把x=

a

代入①得a=1，
把x=-

a

代入①得a=-1（舍去），．
故所求實數(shù)a的值為1．
（Ⅲ）∵g（x）=xlnx-x²f（x）=xlnx-a（x-1），
∴g′（x）=lnx+1-a，解lnx+1-a=0得x=e^a-1，
故g（x）在區(qū)間（e^a-1，+∞）上遞增，在區(qū)間（0，e^a-1）上遞減，
①當e^a-1≤1時，即0＜a≤1時，g（x）在區(qū)間[1，e]上遞增，其最小值為g（1）=0；
②當1＜e^a-1＜e時，即0＜a＜2時，g（x）的最大值為g（e^a-1）=a-e^a-1；
③當e^a-1≥e，即a≥2時，g（x）在區(qū)間[1，e]上遞減，其最小值為g（e）=e+a-ae．

點評：本題主要考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是高考的常考題型．