Question

已知函數(shù)f(x)=1-2sin2(x-

θ

2

)+sin(2x-θ)，θ∈(0，

π

2

)是定義在R 上的奇函數(shù)．
（1）求θ的值和函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若三角形ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對應(yīng)邊分別為a、b、c，△ABC的面積等于函數(shù)f（A）的最大值，求f（A）取最大值時(shí)a的最小值．

Answer 1

分析：（1）首先化簡函數(shù)f（x），根據(jù)奇函數(shù)可知f（0）=0，以及θ的范圍求出θ的值；由正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，求得f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）先利用正弦的值域求得f（A）≤

2

，當(dāng)A=

π

4

時(shí)等于三角形的面積，然后根據(jù)S_△ABC=

1

2

bcsinA，求得bc=4，進(jìn)而由余弦定理和放縮求得a 的最小值．

解答：解：（1）f(x)=1-2sin2(x-

θ

2

)+sin(2x-θ)=cos(2x-θ)+sin(2x-θ)=

2

sin(2x-θ+

π

4

)（2分）
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），易知f（0）=0，由f(0)=

2

sin(

π

4

-θ)=0，∴sin(

π

4

-θ)=0，∵θ∈(0，

π

2

)，∴

π

4

-θ=0，∴θ=

π

4

．（4分）
此時(shí)f(x)=

2

sin(2x-

π

4

+

π

4

)=

2

sin2x為R上的奇函數(shù)，∴θ=

π

4

符合題意（5分）
又由2kπ+

π

2

≤2x≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，得kπ+

π

4

≤x≤kπ+

3π

4

，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]，(k∈Z)（7分）
（2）f(A)=

2

sin2A≤

2

 (當(dāng)sin2A=1，即A=

π

4

時(shí)取等號)，
∴當(dāng)A=

π

4

時(shí)，S△ABC=f(A)max=

2

，（9分）又S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bcsin

π

4

=

2

4

bc=

2

，∴bc=4，（10分）
由余弦定理可以知道a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bccos

π

4

≥2bc-

2

bc=4(2-

2

)，（12分）
∴a≥2

2- 2

 (當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號)．
∴a的最小值是2

2- 2

（14分）

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)的最值和單調(diào)性，對于（2）問，注意放縮和余弦定理的運(yùn)用，本題綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．