Question

已知函數f(x)=

1+lnx

x

．
（1）如果a＞0，函數在區間(a，a+

1

2

)上存在極值，求實數a的取值范圍；
（2）當x≥1時，不等式f(x)≥

k

x+1

恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因為f(x)=

1+lnx

x

，x＞0，x＞0，則f′(x)=-

lnx

x2

，利用函數的單調性和函數f（x）在區間（a，a+

1

2

）（其中a＞0）上存在極值，能求出實數a的取值范圍．
（2）不等式f(x)≥

k

x+1

，即為

(x+1)(1+lnx)

x

≥k，構造函數g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

，利用導數知識能求出實數k的取值范圍．

解答：解：（1）因為f(x)=

1+lnx

x

，x＞0，則f′(x)=-

lnx

x2

，（1分）
當0＜x＜1時，f'（x）＞0；
當x＞1時，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上單調遞增；在（1，+∞）上單調遞減，所以函數f（x）在x=1處取得極大值．
因為函數f（x）在區間（a，a+

1

2

）（其中a＞0）上存在極值，
所以

a＜1 a+ 1 2 ＞1

解得

1

2

＜a＜1．
（2）不等式f(x)≥

k

x+1

，即為

(x+1)(1+lnx)

x

≥k，記g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

，
所以g′(x)=

[(x+1)(1+lnx)]′x-(x+1)(1+ln x)

x2

=

x-lnx

x2

令h（x）=x-lnx，
則h′(x)=1-

1

x

，∵x≥1，∴h'（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上單調遞增，∴[h（x）]_min=h（1）=1＞0，
從而g'（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上也單調遞增，所以[g（x）]_min=g（1）=2，
所以k≤2．

點評：本題考查極值的應用，應用滿足條件的實數的取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意構造法和分類討論法的合理運用．