Question

已知直線y=2與函數f（x）=2sin²ωx+2

3

sinωxcosωx-1（ω＞0）的圖象的兩個相鄰交點之間的距離為π．
（I）求f（x）的解析式，并求出f（x）的單調遞增區間；
（II）將函數f（x）的圖象向左平移

π

4

個單位得到函數g（x）的圖象，求函數g（x）的最大值及g（x）取得最大值時x的取值集合．

Answer 1

分析：（I）化簡函數f（x）=2sin²ωx+2

3

sinωxcosωx-1為一個角的一個三角函數的形式，利用已知體積求出ω，即可求出f（x）的解析式，利用正弦函數的單調增區間求出f（x）的單調遞增區間；
（II）將函數f（x）的圖象向左平移

π

4

個單位得到函數g（x）的圖象，求出函數g（x）的最大值及g（x）取得最大值時x的取值集合．

解答：解：（I）函數f（x）=2sin²ωx+2

3

sinωxcosωx-1=-cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin（2ωx-

π

6

）
因為直線y=2與函數f（x）=2sin²ωx+2

3

sinωxcosωx-1（ω＞0）的圖象的兩個相鄰交點之間的距離為π，
所以T=π，ω=2，所以函數的解析式為：y=2sin（2x-

π

6

）
由：2x-

π

6

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z，
解得：x∈[kπ-

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z
（II）將函數f（x）的圖象向左平移

π

4

個單位得到函數g（x）=2sin（2x+

π

3

）的圖象，
所以函數g（x）的最大值為：2，此時2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

12

，其中k∈Z．
所以當x=kπ+

π

12

，其中k∈Z．
g（x）取得最大值，x取值集合為：{x|x=kπ+

π

12

，k∈Z}（12分）

點評：本題是基礎題，考查三角函數的化簡求值，函數的周期的求法，最大值的求法，考查計算能力．常考題型．