Question

（2013•寧德模擬）已知函數，f（x）=

3

cos（

π

2

-2ωx）+2sin²ωx（ω＞0）的最小正周期為π．
（I ）求函數y=f（x）的最值及其單調遞增區間；
（II ）函數f（x）的圖象可以由函數y=2sin2x（x∈R）的圖象經過怎樣的變換得到？

Answer 1

分析：（I）利用降次升角公式，及和差角公式（輔助角公式），可將函數y=f（x）的解析式化為正弦型函數的形式，結合函數y=f（x）的最小正周期為π，可得ω的值，進而結合正弦函數的圖象和性質，可得答案．
（II）根據函數圖象的變換法則，結合變換前后函數的解析式，可分析出函數變換的方法．

解答：解：（I）∵f（x）=

3

cos（

π

2

-2ωx）+2sin²ωx=

3

sin2ωx+1-cos2ωx=2sin（2ωx-

π

6

）+1
又∵ω＞0，f（x）的最小正周期為π
故ω=1
故f（x）=2sin（2x-

π

6

）+1
∵A=2，B=1
故函數y=f（x）的最大值為3，最小值為-1
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

得
kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z
故函數y=f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，（k∈Z）
（II）將函數y=2sin2x（x∈R）的圖象上的所有點向右平移

π

12

個單位長度
得到函數y=2sin2（x-

π

12

）=2sin（2x-

π

6

）（x∈R）的圖象；
再將函數y=2sin2（x-

π

12

）=2sin（2x-

π

6

）（x∈R）的圖象上的所有點向上平移1個單位長度
得到函數f（x）=2sin（2x-

π

6

）+1的圖象．

點評：本題考查的知識點是兩角差的正弦函數，二倍角公式，正弦型函數的單調性，周期性，函數圖象的變換，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．