Question

已知函數f（x）=alnx+

1

2

ax²+bx（a≠0）
（Ⅰ）若函數f（x）的圖象在x=1處的切線方程為y=3x-

3

2

，求a，b的值；
（Ⅱ）若a=2時，函數f（x）是增函數，求實數b的取值范圍；
（Ⅲ）設函數g（x）=lnx的圖象C₁與函數h（x）=f（x）-ag（x）的圖象C₂交于點P、Q，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點M、N，問是否存在點R，使C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用,導數的綜合應用,直線與圓

分析：（Ⅰ）求出f（x）的導數，求出切線的斜率，切點，由已知切線方程，可得a，b的方程，解得即可；
（Ⅱ）求出a=2的導數，由f（x）是增函數，則有f′（x）≥0在x＞0恒成立，運用參數分離，運用基本不等式求得右邊的最小值，即可得到b的范圍；
（Ⅲ）首先設點P、Q的坐標是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂，然后通過導數公式以及導數的幾何意義，分別求出曲線C₁在點M處的切線斜率k₁和曲線C₂在點N處的切線斜率k₂，因為兩條切線平行，所以k₁=k₂，解關于x₁，x₂，a，b的方程，整理成ln

x2

x1

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

．設t=

x2

x1

，則lnt=

2(t-1)

t+1

①轉化為關于t的函數討論問題，根據其單調性得出lnt＞

2(t-1)

t+1

．這與①矛盾，因此假設不成立．可得C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行．

解答： 解：（Ⅰ）函數f（x）=alnx+

1

2

ax²+bx的導數為f′（x）=

a

x

+ax+b，
在x=1處的切線斜率為k=2a+b，f（1）=

1

2

a+b，
在x=1處的切線方程為y=3x-

3

2

，即有2a+b=3，

1

2

a+b=3-

3

2

，
解得a=b=1；
（Ⅱ）若a=2時，函數f（x）=2lnx+x²+bx的導數為f′（x）=

2

x

+2x+b，
由f（x）是增函數，則有f′（x）≥0在x＞0恒成立，
即-

b

2

≤x+

1

x

，由于x+

1

x

≥2（當且僅當x=1取得等號），
則有-

b

2

≤2，解得b≥-4；
（Ⅲ）設點P、Q的坐標是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂
則點M，N的橫坐標為x=

x1+x2

2

，
C₁點在M處的切線斜率為k₁=

2

x1+x2

，
C₂點N處的切線斜率為k₂=

a(x1+x2)

2

+b，
假設C₁點M處的切線與C₂在點N處的切線平行，則k₁=k₂
即

2

x1+x2

=

a(x1+x2)

2

+b，
則

2(x2-x1)

x1+x2

=

a

2

（x₂²-x₁²）+b（x₂-x₁）=（

a

2

x₂²+bx₂）-（

a

2

x₁²+bx₁）=y₂-y₁=lnx₂-lnx₁．
∴ln

x2

x1

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

．
設t=

x2

x1

，則lnt=

2(t-1)

t+1

①
令F（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，
則F′（t）=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

，
因為t＞1時，F'（t）＞0，
所以F（t）在[1，+∞）上單調遞增．
故F（t）＞F（1）=0
則lnt＞

2(t-1)

t+1

．這與①矛盾，假設不成立．
故C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行．

點評：本題考查導數的運用：求切線方程和單調區間和極值、最值，考查不等式的恒成立問題轉化為求函數的最值，屬于中檔題．