Question

13．已知函數f（x）=xlnx．
（1）求函數y=f（x）的單調區間；
（2）證明：當x＞0時，$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$．．

Answer 1

分析 （1）先求出函數的導數，從而求出函數的單調區間；
（2）令g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{x}$，（x＞0），根據函數的單調性求出g（x）的最大值，從而證出結論即可．

解答 解：（1）函數的定義域為（0，+∞）．
因為f′（x）=lnx+1，
令f′（x）=0，即x=$\frac{1}{e}$，
當0＜x＜$\frac{1}{e}$時，f′（x）＜0；當x＞$\frac{1}{e}$時，f′（x）＞0，
所以f（x）的單調遞減區間為（0，$\frac{1}{e}$），單調遞增區間為（$\frac{1}{e}$，+∞）．
（2）證明：由（1）得：f（x）=xlnx在最小值是-$\frac{1}{e}$，
當且僅當x=$\frac{1}{e}$時取得，
令g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{x}$，（x＞0），則g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，x＞0，
當x＞1時，g′（x）＜0，當0＜x＜1時，g′（x）＞0，
故g（x）在最大值是g（1）=-$\frac{1}{e}$，
當且僅當x=1時取得，
故原不等式成立．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及不等式的證明，是一道中檔題．