Question

4．若y=f（x）是R上的偶函數，y=g（x）是R上的奇函數，它們都是周期函數，則下列一定正確的是（　　）

• A． 函數y=g[g（x）]是偶函數，函數y=f（x）g（x）是周期函數
• B． 函數y=g[g（x）]是奇函數，函數y=f[g（x）]不一定是周期函數
• C． 函數y=g[g（x）]是偶函數，函數y=f[g（x）]是周期函數
• D． 函數y=g[g（x）]是奇函數，函數y=f（x）g（x）是周期函數

Answer 1

分析 令m（x）=g[g（x）]，n（x）=f（x）g（x），利用函數的奇偶性的定義，周期函數的定義證明m（x）為奇函數，n（x）=f（x）g（x）一定為周期函數，從而得出結論．

解答 解：∵y=f（x）是R上的偶函數，y=g（x）是R上的奇函數，故有g（-x）=-g（x），且f（-x）=f（x）．
令m（x）=g[g（x）]，n（x）=f（x）g（x），
則m（-x）=g[g（-x）]=g[-g（x）]-g[g（x）]=-m（x），故m（x）為奇函數，故排除A、C；
∵f（x）和g（x）都是周期函數，設他們的周期的最小公倍數為t，即f（x+t）=f（x），g（x+t）=g（x），
n（x+t）=f（x+t）g（x+t）=f（x）g（x）=n（x），故n（x）=f（x）g（x）一定為周期函數，故排除B，
故選：D．

點評 本題主要考查函數的奇偶性的性質，復合函數的奇偶性、周期性，屬于中檔題．