Question

12．在直角坐標系xOy中，已知點A（a，a），B（2，3），C（3，2）．
（1）若向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$的夾角為鈍角，求實數a的取值范圍；
（2）若a=1，點P（x，y）在△ABC三邊圍成的區域（含邊界）上，$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m，n∈R），求m-n的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知點的坐標求出$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$的坐標，再由向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$的夾角為鈍角可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$＜0，且A、B、C不共線，由此列式求得實數a的取值范圍；
（2）畫出△ABC三邊圍成的區域，結合$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$可得x=m+2n，y=2m+n，解得m-n=y-x，令y-x=t，再由線性規劃知識求得m-n的最大值．

解答 解：（1）由A（a，a），B（2，3），C（3，2）．
得$\overrightarrow{AB}=（2-a，3-a），\overrightarrow{AC}=（3-a，2-a）$，
由題意，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2（2-a）（3-a）＜0}\\{\overrightarrow{AB}≠λ\overrightarrow{AC}}\end{array}\right.$，
得2＜a＜3且a$≠\frac{5}{2}$，
∴$a∈（{2，\frac{5}{2}}）∪（{\frac{5}{2}，3}）$；
（2）a=1時，A（1，1），B（2，3），C（3，2）．
作出△ABC三邊圍成的區域如圖：

∵$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$，∴（x，y）=m（1，2）+n（2，1），
即x=m+2n，y=2m+n，解得m-n=y-x，令y-x=t，
由圖知，當直線y=x+t過點B（2，3）時，t取得最大值1，故m-n的最大值為1．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查了簡單的線性規劃，體現了數形結合的解題思想方法和數學轉化思想方法，是中檔題．