Question

2．已知F₁，F₂為橢圓的兩個焦點，以F₁為圓心，且經過橢圓中心的圓與橢圓有一個公共點為P，若PF₂恰好與圓F₁相切，則該橢圓的離心率為$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 由題設知丨F₁P丨=c，丨PF₂丨=2a-c，丨F₁F₂丨=2c，由直線F₂M與圓F₁相切，知∠F₁PF₂=90°．則c²+（2a-c）²=4c²，由此能求出該橢圓的離心率．

解答 解：由題設知丨F₁P丨=c，丨PF₂丨=2a-c，丨F₁F₂丨=2c，
∵直線F₂P與圓F₁相切，
∴∠F₁PF₂=90°．
∴c²+（2a-c）²=4c²，
整理得4a²-4ac=2c²，
∴e²+2e-2=0，
解得e=$\sqrt{3}$-1或e=-$\sqrt{3}$-1（舍）．
故答案為：$\sqrt{3}$-1．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地利用橢圓性質，恰當地進行等價轉化，屬于中檔題．