Question

已知f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+2sin²x+a的最大值為2．
（Ⅰ）求a的值及f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[-

π

2

，

π

2

]，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的周期性及其求法,兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）化簡解析式可得f（x）=2sin（2x-

π

6

）+1+a，由已知可求得a=-1，可得解析式f（x）=2sin（2x-

π

6

），從而可求最小正周期；
（Ⅱ）由x∈[-

π

2

，

π

2

]，可得2x-

π

6

∈[-

7π

6

，

5π

6

]，從而可求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+2sin²x+a=

3

sin2x-cos2x+1+a=2sin（2x-

π

6

）+1+a，
∵f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+2sin²x+a的最大值為2，
∴1+a=0，
∴a=-1，
∴f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+2sin²x+a=

3

sin2x-cos2x+1+a=2sin（2x-

π

6

），
∴T=

2π

2

=π，
（Ⅱ）∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴2x-

π

6

∈[-

7π

6

，

5π

6

]，
∴由正弦函數(shù)的和性質(zhì)可知，當x=-

π

6

時，f（x）_min=2sin（-

π

2

）=-2，當x=

π

3

時，f（x）_max=2sin（

π

2

）=2，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-

π

6

，

π

3

]．

點評：本題主要考察了三角函數(shù)的周期性及其求法，兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識的考查．