Question

8．下表數據為某地區某基地某種農產品的年產量x（單位：噸）及對應銷售價格y（單位：萬元/噸）．

x	1	2	3
y	5	4	3

（1）若y與x有較強的線性相關關系，請用最小二乘法求出y關與x的線性回歸方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$；
（2）若每噸該農產品的成本為1萬元，假設該農產品可全部賣出，預測當年產量為多少噸時，年利潤z最大？最大利潤是多少？
參考公式：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}{y_i}}）}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2}-n{{\overline x}^2}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．

Answer 1

分析 （1）求出樣本中心，通過求解$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}{y_i}}）}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2}-n{{\overline x}^2}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$，然后求解直線方程．
（2）利用回歸直線方程求解即可．

解答 解：（1）由表格得，$\overline x=\frac{1+2+3}{3}=2$，$\overline y=\frac{5+4+3}{3}=4$，…（2分）
$\widehatb=\frac{1×5+2×4+3×3-3×2×4}{{{1^2}+{2^2}+{3^2}-3×{2^2}}}=-1$，$\widehata=4-（{-1}）×2=6$，…（4分）
故所求的線性回歸方程為$\widehaty=-x+6$．…（6分）
（2）由題意得，年利潤$z=x（{-x+6}）-x=-{x^2}+5x=-{（{x-\frac{5}{2}}）^2}+\frac{25}{4}$，…（10分）
所以，預測當年產量為2.5噸時，年利潤最大，最大利潤為6.25萬元．…（12分）

點評 本題考查回歸直線方程的求法，回歸直線方程的應用，考查計算能力．