Question

9．已知集合A是同時滿足下列兩個性質的函數f（x）的全體．
①函數f（x）在其定義域上是單調函數；
②f（x）的定義域內存在區間[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域為[$\frac{a}{2}，\frac{b}{2}$]．
（1）判斷f（x）=x³是否屬于M，若是，求出所有滿足②的區間[a，b]，若不是，說明理由；
（2）若是否存在實數t，使得h（x）=$\sqrt{x-1}+t∈M$，若存在，求實數t的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）可以看出g（x）為增函數，滿足條件①，而方程x³=$\frac{x}{2}$有三個不同的解，從而滿足條件②，從而說明g（x）屬于M，且可寫出所有滿足②的區間[a，b]；
（2）利用導數可得函數h（x）在定義域[1，+∞）上是增函數．若h（x）∈M，則存在a，b∈[1，+∞），且a＜b，使得h（a）=$\frac{a}{2}$，h（b）=$\frac{b}{2}$，即a-2$\sqrt{a-1}$-2t=0，且b-2$\sqrt{b-1}$-2t=0．令$\sqrt{x-1}$=y（x≥1），則y≥0，于是關于y的方程y²-2y+1-2t=0在[0，+∞）上有2個不等實根，利用二次函數的性質求得t的范圍．

解答 解：（1）g（x）=x³在R上為增函數，滿足性質①；
解x³=$\frac{x}{2}$得，x=0，或x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴滿足性質②；
∴g（x）屬于M，且滿足②的區間[a，b]為[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0]，[0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，或[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]；
（2）函數h（x）的定義域是[1，+∞），
當x＞1時，h′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$＞0，故函數h（x）在[1，+∞）上是增函數，
若h（x）∈M，則存在a，b∈[1，+∞），且a＜b，
使得h（a）=$\frac{a}{2}$，h（b）=$\frac{b}{2}$，即a-2$\sqrt{a-1}$-2t=0，且b-2$\sqrt{b-1}$-2t=0，
令$\sqrt{x-1}$=y（x≥1），則y≥0，
于是關于y的方程y²-2y+1-2t=0在[0，+∞）上有兩個不等的實根，
記u（y）=y²-2y+1-2t，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{u（0）≥0}\end{array}\right.$，∴t∈（0，$\frac{1}{2}$]．

點評 考查函數單調性的定義，函數值域的定義，f（x）滿足性質②便說明方程f（x）=$\frac{x}{2}$至少有兩個不同解，以及一元二次方程實數根的個數和判別式△的關系．