Question

5．如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點P作直線OA的垂線，垂足為M，將點M到直線OP的距離與O到M的距離之和表示成x的函數f（x），則y=f（x）在[0，π]上的圖象大致是（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，點M到直線OP的距離與O到M的距離之和f（x）=sinxcosx+cosx=$\frac{1}{2}$sin2x+cosx，求導分析函數的單調性，可得函數圖象的大致形狀，進而得到答案．

解答 解：∵圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，
角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，
過點P作直線OA的垂線，垂足為M，
當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，
則點M到直線OP的距離與O到M的距離之和f（x）=sinxcosx+cosx=$\frac{1}{2}$sin2x+cosx，
∵f′（x）=cos2x-sinx=-2sin²x-sinx+1=-2（sinx+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$，
故當sinx＜$\frac{1}{2}$，即x∈[0，$\frac{π}{6}$）時，f′（x）＞0，函數為增函數，
當sinx＞$\frac{1}{2}$，即x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]時，f′（x）＜0，函數為減函數，
同理，x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$）時，f′（x）＞0，函數為增函數，
x∈（$\frac{5π}{6}$，π]時，f′（x）＜0，函數為減函數，
故選：B

點評 本題考查的知識點是函數的圖象，利用導數研究函數的單調性，難度中檔．