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20.設函數f(x)是定義在(-∞,0)上的可導函數,其導函數為f'(x),且有2f(x)+xf'(x)>x2,則不等式(x+2016)2f(x+2016)-9f(-3)<0的解集為(  )
A.(-2019,-2016)B.(-2019,2016)C.(-2019,+∞)D.(-∞,-2019)

分析 通過觀察2f(x)+xf′(x)>x2,不等式的左邊像一個函數的導數,又直接寫不出來,對該不等式兩邊同乘以x,得到2xf(x)+x2f′(x)<x3,這時不等式的左邊是(x2f(x))′,所以構造函數F(x)=x2f(x),則能判斷該函數在(-∞,0)上是減函數;
再由F(x+2016)=(x+2016)2f(x+2016),F(-3)=9f(-3),且不等式(x+2016)2f(x+2016)-9f(-3)<0可變成F(x+2014)<F(-3),解這個不等式即可,這個不等式利用F(x)的單調性可以求解.

解答 解:由2f(x)+xf′(x)>x2,(x<0);
得:2xf(x)+x2f′(x)<x3
即[x2f(x)]′<x3<0;
令F(x)=x2f(x);
則當x<0時,F'(x)<0,即F(x)在(-∞,0)上是減函數;
∴F(x+2016)=(x+2016)2f(x+2016),F(-3)=9f(-3);
即不等式等價為F(x+2016)-F(-3)<0;
∵F(x)在(-∞,0)是減函數;
∴由F(x+2016)<F(-3)得,x+2016>-3,∴x>-2019;
又x+2016<0,∴x<-2016;
∴-2019<x<-2016.
∴原不等式的解集是(-2019,-2016).
故選:A.

點評 本題考查函數的單調性與導數的關系,兩個函數乘積的導數的求法,而構造函數是解本題的關鍵.

練習冊系列答案
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