Question

10．已知$\overrightarrow a$=（2cos$\frac{2π}{3}$，2sin$\frac{2π}{3}$），$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$，若△OAB是以O為直角頂點的等腰直角三角形，則△OAB的面積等于4．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$，△OAB是以O為直角頂點的等腰直角三角形．可得$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|$，可得$|\overrightarrow{b}|$=$|\overrightarrow{a}|$=2，$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$．進而得出．

解答 解：$\overrightarrow a$=（2cos$\frac{2π}{3}$，2sin$\frac{2π}{3}$）=$（-1，\sqrt{3}）$，
∵$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$，△OAB是以O為直角頂點的等腰直角三角形．
∴$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|$，
∴$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=${\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}$=0，$\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}$，
∴$|\overrightarrow{b}|$=$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{（-1）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$．
∴$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
則△OAB的面積等于$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=4．
故答案為：4．

點評 本題考查了向量垂直與數量積的關系及其性質、等腰直角三角形，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．