Question

1．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦點是F₁、F₂，P是橢圓上一點，若|PF₁|=2|PF₂|，則橢圓的離心率的取值范圍是（　　）

• A． $（0，\frac{1}{2}）$
• B． $（\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$
• C． $[{\frac{1}{3}，1}）$
• D． $[{\frac{1}{2}，1}）$

Answer 1

分析 由題意可知：設點P（x，y），由|PF₁|=2|PF₂|，則由橢圓的定義可得 e（x+$\frac{{a}^{2}}{c}$）=2•e（$\frac{{a}^{2}}{c}$-x），求得x=$\frac{a}{3e}$，根據橢圓的范圍可知：-a≤$\frac{a}{3e}$≤a，即可求得橢圓的離心率的取值范圍．

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦點在x軸，設點P（x，y），
∵|PF₁|=2|PF₂|，則由橢圓的定義可得 e（x+$\frac{{a}^{2}}{c}$）=2•e（$\frac{{a}^{2}}{c}$-x），
∴x=$\frac{a}{3e}$，由題意可得：-a≤$\frac{a}{3e}$≤a，
∴$\frac{1}{3}$≤e＜1，則該橢圓的離心率e的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，1），
故選C．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的焦點弦公式，橢圓的范圍，考查計算能力，屬于中檔題．