Question

7．已知函數$f（x）=\frac{{a•{2^x}+a-1}}{{{2^x}+1}}$為奇函數
（1）求a，并判斷f（x）在R上的單調性，證明你的結論；
（2）若$f（m）≥\frac{1}{6}$，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=0，求得a的值，再利用函數的單調性的定義證明f（x）在R上單調遞增．
（2）根據$f（m）≥\frac{1}{6}$=f（1），且f（x）在R上單調遞增，求得m的范圍．

解答 解：（1）∵函數$f（x）=\frac{{a•{2^x}+a-1}}{{{2^x}+1}}$為奇函數，∴f（0）=$\frac{a+a-1}{2}$=0，a=$\frac{1}{2}$，f（x）=$\frac{\frac{1}{2}{•2}^{x}-\frac{1}{2}}{{2}^{x}+1}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，
故f（x）在R上單調遞增．
證明：任意設x₁＜x₂，∵f（x₁）-f（x₂）=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）-（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）=$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{{2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}}{{（2}^{{x}_{1}}+1）•{（2}^{{x}_{2}}+1）}$，
由題設可得，${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，${2}^{{x}_{1}}$+1＞0，${2}^{{x}_{2}}$+1＞0，∴$\frac{{2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}}{{（2}^{{x}_{1}}+1）•{（2}^{{x}_{2}}+1）}$＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在R上單調遞增．
（2）若$f（m）≥\frac{1}{6}$=f（1），∵f（x）在R上單調遞增，∴m≥1．

點評 本題主要考查函數的奇偶性的定義，函數的單調性的證明方法，函數的單調性的應用，屬于中檔題．