Question

17．已知函數f（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…+$\frac{{x}^{2017}}{2017}$，g（x）=1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{{x}^{4}}{4}$-…-$\frac{{x}^{2017}}{2017}$，設函數F（x）=f（x+4）•g（x-5），且函數F（x）的零點均在區間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內，則b-a的最小值為（　　）

• A． 9
• B． 10
• C． 11
• D． 12

Answer 1

分析 根據函數的單調性求出函數零點的范圍，作差即可求出b-a的最小值．

解答 解∵f（0）=1＞0，f（-1）=1-1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$-…-$\frac{1}{2017}$＜0，
∴函數f（x）在區間（-1，0）內有零點；
當x∈（-1，0）時，f′（x）=$\frac{1{+x}^{2017}}{1+x}$＞0，
∴函數f（x）在區間（-1，0）上單調遞增，
故函數f（x）有唯一零點x∈（-1，0）；
∵g（1）=1-1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…-$\frac{1}{2017}$＞0，
g（2）=1-2+$\frac{{2}^{2}}{2}$-$\frac{{2}^{3}}{3}$+…+$\frac{{2}^{2016}}{2016}$-$\frac{{2}^{2017}}{2017}$＜0．
當x∈（1，2）時，g′（x）=-1+x-x²+x³-…+x²⁰¹⁶-x²⁰¹⁷=$\frac{{x}^{2017}-1}{x+1}$＞0，
∴函數g（x）在區間（1，2）上單調遞增，故函數g（x）有唯一零點x∈（1，2）；
∵F（x）=f（x+4）•g（x-5），且函數F（x）的零點均在區間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內，
∴f（x+4）的零點在（-5，-4）內，g（x-5）的零點在（6，7）內，
因此F（x）=f（x+4）•g（x-5）的零點均在區間[-5，7]內，
∴b-a的最小值為7-（-5）=12．
故選：D．

點評 本題考查了函數零點問題，考查函數的單調性，是一道中檔題．