Question

9．已知數列{a_n}的前n項和是S_n，且滿足2S_n=3a_n-$\frac{1}{2}$（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄，并猜想通項公式an（不用證明）；
（2）設b_n=1+2log₃（2a_n），求證：$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由已知數列遞推式分別取n=1、2、3、4求得a₁，a₂，a₃，a₄，并利用不完全歸納法歸納猜想通項公式；
（2）把（1）中求得的數列通項公式代入b_n=1+2log₃（2a_n），然后利用裂項相消法求和證明$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$＜$\frac{1}{2}$．

解答 （1）解：n=1時，$2{a}_{1}=3{a}_{1}-\frac{1}{2}$，得${a}_{1}=\frac{1}{2}$；
n=2時，$2（{a}_{1}+{a}_{2}）=3{a}_{2}-\frac{1}{2}$，得${a}_{2}=\frac{3}{2}$；
n=3時，$2（{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}）=3{a}_{3}-\frac{1}{2}$，得${a}_{3}=\frac{9}{2}$；
n=4時，$2（{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+{a}_{4}）=3{a}_{4}-\frac{1}{2}$，得${a}_{4}=\frac{27}{2}$．
猜想：${a}_{n}=\frac{{3}^{n-1}}{2}$（n∈N^*）；
（2）證明：把${a}_{n}=\frac{{3}^{n-1}}{2}$代入b_n=1+2log₃（2a_n），
得b_n=1+2log₃2a_n=2n-1，
∴$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+…+\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$＜$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查數列遞推式，考查了裂項相消法求數列的前n項和，訓練了放縮法證明數列不等式，是中檔題．