Question

12．下列命題中，是假命題的是（　　）

• A． ?x₀∈R，sinx₀+cosx₀=$\sqrt{3}$
• B． ?x₀∈R，tanx₀=2016
• C． ?x＞0，x＞lnx
• D． ?x∈R，2^x＞0

Answer 1

分析 求出sinx+cosx的范圍，可判斷A；根據正切函數的圖象和性質，可判斷B；構造函數，求出最值，可判斷C；根據指數函數的圖象和性質，可判斷D．

解答 解：sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，$\sqrt{3}$∉[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
故?x₀∈R，sinx₀+cosx₀=$\sqrt{3}$是假命題；
tanx∈R，故?x₀∈R，tanx₀=2016是真命題；
令f（x）=x-lnx，則f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，函數為減函數，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，函數為增函數，
故當x=1時，f（x）取最小值1，故f（x）=x-lnx≥1恒成立，
故?x＞0，x＞lnx是真命題；
指數函數的值域為（0，+∞），
?x∈R，2^x＞0是真命題；
故選：A．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了三角函數的圖象和性質，利用導數求最小值，指數函數的圖象和性質，難度中檔．