Question

11．已知拋物線C：y²=4x的焦點為F，點M在拋物線C上，MQ垂直準線l于點Q，若△MQF是等邊三角形，則$\overrightarrow{FQ}•\overrightarrow{FM}$的值為8．

Answer 1

分析 求出F的坐標，設M（x，2$\sqrt{x}$），則Q（-1，2$\sqrt{x}$），（x＞0），根據△MQF是等邊三角形，求出x的值，從而求出$\overrightarrow{FQ}$，$\overrightarrow{FM}$的坐標，求出$\overrightarrow{FQ}•\overrightarrow{FM}$的值即可．

解答 解：y²=4x的焦點為F，故F（1，0），
設M（x，2$\sqrt{x}$），則Q（-1，2$\sqrt{x}$），（x＞0），
$\overrightarrow{MQ}$=（x+1，0），$\overrightarrow{FQ}$=（-2，2$\sqrt{x}$），$\overrightarrow{MF}$=（x-1，2$\sqrt{x}$），
若△MQF是等邊三角形，
則|MQ|=|FQ|=|MF|，
故（x+1）²=4+4x，解得：x=3，x=-1（舍），
故$\overrightarrow{FQ}$=（-2，2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{FM}$=（2，2$\sqrt{3}$），
故$\overrightarrow{FQ}•\overrightarrow{FM}$=-4+12=8，
故答案為：8．

點評 本題考查了拋物線的性質，考查向量的運算，是一道中檔題．