Question

16．已知函數f（x）=ax³-$\frac{3}{2}$x²+1存在唯一的零點x₀，且x₀＜0，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• B． （-∞，-2）
• C． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 通過討論a=0，a＜0，a＞0的情況，結合函數的單調性從而確定a的范圍即可．

解答 解：當a=0得$f（x）=-\frac{3}{2}{x^2}+1$，函數有兩個零點，不合題意；
當a≠0時，f'（x）=3ax²-3x=3x（ax-1），由f'（x）=0，得${x_1}=0，{x_2}=\frac{1}{a}$，
①若a＜0，則$\frac{1}{a}＜0$，由f'（x）＜0得$x＜\frac{1}{a}$或x＞0；由f'（x）＞0得$\frac{1}{a}＜x＜0$，
故函數f（x）在$（-∞，\frac{1}{a}），（0，+∞）$上單調遞減，在$（\frac{1}{a}，0）$上單調遞增，
又f（0）=1，故函數f（x）存在零點x₀＞0，如圖12-1，此情況不合題意；
②若a＞0，則$\frac{1}{a}＞0$，由f'（x）＜0得$0＜x＜\frac{1}{a}$；由f'（x）＞0得x＜0或$x＞\frac{1}{a}$，
故函數f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$上單調遞減，在$（-∞，0），（\frac{1}{a}，+∞）$上單調遞增，
如圖12-2，要使函數f（x）存在唯一的零點x₀，且x₀＜0，
則必須滿足$f（\frac{1}{a}）＞0$，由$f（\frac{1}{a}）=1-\frac{1}{{2{a^2}}}＞0$得$a＞\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查了函數的零點問題，考查分類討論思想以及數形結合思想，是一道中檔題．