Question

11．若實數a，b，c∈（0，1）且10a+9b=9，a+b+c=1，則當$\frac{10}{a}+\frac{1}{9b}$取最小值時，c的值為（　　）

• A． $\frac{5}{11}$
• B． $\frac{2}{11}$
• C． $\frac{1}{11}$
• D． 0

Answer 1

分析 實數a，b，c∈（0，1），10a+9b=9，可得$\frac{10}{a}+\frac{1}{9b}$=$\frac{1}{9}$（10a+9b）$（\frac{10}{a}+\frac{1}{9b}）$=$\frac{1}{9}$（101+$\frac{90b}{a}+\frac{10a}{9b}$），利用基本不等式的性質可得最小值，可得取最小值時的a，b，即可得出c．

解答 解：實數a，b，c∈（0，1），10a+9b=9，
則$\frac{10}{a}+\frac{1}{9b}$=$\frac{1}{9}$（10a+9b）$（\frac{10}{a}+\frac{1}{9b}）$=$\frac{1}{9}$（101+$\frac{90b}{a}+\frac{10a}{9b}$）≥$\frac{1}{9}$$（101+10×2×\sqrt{\frac{9b}{a}×\frac{a}{9b}}）$=$\frac{121}{9}$，
當且僅當a=9b=$\frac{9}{11}$時取等號．
∴c=1-$\frac{9}{11}$-$\frac{1}{11}$=$\frac{1}{11}$．
故選：C．

點評 本題考查了基本不等式的性質、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．