Question

18．如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長是2，側棱長是$\sqrt{3}$，D是AC的中點．
（Ⅰ）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A-A₁B-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設AB₁與A₁B相交于點P，連接PD，則PD∥B₁C，由此能證明B₁C∥平面A₁BD．
（Ⅱ）取AB中點為O，A₁B₁中點為E，以O為原點OA為x軸，OE為y軸，OC為z軸，建立空間直角坐標系O-xyz．利用向量法能求出二面角A-A₁B-D的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）設AB₁與A₁B相交于點P，連接PD，則P為AB₁中點，
∵D為AC中點，∴PD∥B₁C，
又∵PD?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD…（5分）
解：（Ⅱ）取AB中點為O，A₁B₁中點為E點，由于△ABC為等邊三角形所以CO⊥AB，
又因為是正三棱柱，所以$平面ABCC，且平面ABC\bigcap{\;}平面AB{B_1}{A_1}=AB$，
則CD⊥平面ABB₁A₁
以O為原點OA為x軸，OE為y軸，OC為z軸，建立空間直角坐標系O-xyz．
$\begin{array}{l}顯然平面AB{B_1}{A_1}的法向量為\overrightarrow m=（0，0，1），\\ 設平面{A_1}BD的法向量為\overrightarrow n=（x，y，z），\\ \overrightarrow{B{A_1}}=（2，\sqrt{3}，0），\overrightarrow{BD}=（\frac{3}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}），\\ \left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{B{A_1}}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}}\right.\\ \overrightarrow n=（{\sqrt{3}，-2，3}）\\ cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{3}{4}\end{array}$
所求二面角A-A₁B-D的余弦值為$\frac{3}{4}$…（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．