Question

7．數列{a_n}的前n項和為S_n．
（1）當{a_n}是等比數列，a₁=1，且$\frac{1}{a_1}$，$\frac{1}{a_3}$，$\frac{1}{a_4}$-1是等差數列時，求a_n；
（2）若{a_n}是等差數列，且S₁+a₂=3，S₂+a₃=6，求和：T_n=$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{S_n}$．

Answer 1

分析 （1）$\frac{1}{a_1}$，$\frac{1}{a_3}$，$\frac{1}{a_4}-1$是等差數列，得$\frac{2}{a_3}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_4}-1$，又{a_n}是等比數列，a₁=1，設公比為q，則有$\frac{2}{q^2}=1+\frac{1}{q^3}-1$，解出即可得出．
（2）設{a_n}的公差距為d，S₁+a₂=3，S₂+a₃=6，得$\left\{{\begin{array}{l}{2{a_1}+d=3}\\{3{a_1}+3d=6}\end{array}}\right.$，解出即可得出．

解答 解：（1）$\frac{1}{a_1}$，$\frac{1}{a_3}$，$\frac{1}{a_4}-1$是等差數列，得$\frac{2}{a_3}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_4}-1$
又{a_n}是等比數列，a₁=1，設公比為q，則有$\frac{2}{q^2}=1+\frac{1}{q^3}-1$，即$\frac{2}{q^2}=\frac{1}{q^3}$
而q≠0，解得$q=\frac{1}{2}$，…（4分）
故${a_n}=1×{（\frac{1}{2}）^{n-1}}={（\frac{1}{2}）^{n-1}}$…（6分）
（2）設{a_n}的公差距為d，S₁+a₂=3，S₂+a₃=6，得$\left\{{\begin{array}{l}{2{a_1}+d=3}\\{3{a_1}+3d=6}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=1}\\{d=1}\end{array}}\right.$． …（8分）
則${S_n}=n{a_1}+\frac{n（n-1）}{2}d=\frac{n（n+1）}{2}$．
于是$\frac{1}{S_n}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，…（10分）
故$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{S_n}=2（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=\frac{2n}{n+1}$…（12分）

點評 本題考查了“裂項求和方法”、等差數列與等比數列的通項公式及其求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．