Question

16．在銳角三角形中，角A，B，C對邊分別為a，b，c，若3（$\frac{sinB}{sinA}$+$\frac{sinA}{sinB}$）=8cosC，則$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{c}^{2}}$=4．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可得3（$\frac{a}+\frac{a}$）=8cosC，結合余弦定理可得4c²=a²+b²，化簡所求即可計算得解．

解答 解：∵3（$\frac{sinB}{sinA}$+$\frac{sinA}{sinB}$）=8cosC，
∴由正弦定理可得：3（$\frac{a}+\frac{a}$）=8cosC，
∴由余弦定理可得：$\frac{3{a}^{2}+3^{2}}{ab}$=8×$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，整理可得：4c²=a²+b²，
∴$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{4{c}^{2}}{{c}^{2}}$=4．
故答案為：4．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．