Question

14．設函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2f（x-2），x∈（1，+∞）}\\{1-|x|，x∈[-1，1]}\end{array}\right.$，若關于x的方程f（x）-log_a（x+1）=0（a＞0且a≠1）在區間[0，5]內恰有5個不同的根，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （1，$\sqrt{3}$）
• B． （$\root{4}{5}$，+∞）
• C． （$\sqrt{3}$，+∞）
• D． （$\root{4}{5}$，$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 畫出函數的圖象，利用數形結合，推出不等式，即可得到結果．

解答 解：函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2f（x-2），x∈（1，+∞）}\\{1-|x|，x∈[-1，1]}\end{array}\right.$，x在區間[-1，5]上的圖象如圖：
關于x的方程f（x）-log_a（x+1）=0（a＞0且a≠1）在區間[0，5]內恰有5個不同的根，就是f（x）=log_a（x+1）恰有5個不同的根，
函數y=f（x）與函數y=log_a（x+1）恰有5個不同的交點，
由圖象可得：$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}3＜2}\\{lo{g}_{a}5＜4}\end{array}\right.$，解得a$＞\sqrt{3}$．
故選：C．

點評 本題考查函數零點個數的判斷，考查數形結合，分析問題解決問題的能力．